HELPматематик: Подробные решения задач из варианта 1 части В. ЦТ по математике 2012 г.

Вариант 1

Часть В

Задача В1. Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4, а площадь диагонального сечения равна 12, то ее объем равен … .

Решение.

ЦТ по математике 2012, задача 1, часть B. Рисунок пирамиды

Пусть SABCD – правильная четырехугольная пирамида с вершиной S и основанием ABCD. ЧетырехугольникABCD является квадратом, так как пирамида правильная. Треугольник BSD – диагональное сечение пирамиды. SO ― высота пирамиды.

Площадь диагонального сечения можно определить по формуле площади треугольника:

По условию задачи

, а .

Тогда

Сторона квадрата в

раз меньше его диагонали (докажите самостоятельно), поэтому

Тогда площадь основания пирамиды:

Объем пирамиды вычисляем по формуле:

Ответ: 24.

Задача В2. Найдите количество всех целых решений неравенства

Решение.

Преобразуем исходное неравенство:

Заметим, что сокращение на x специально не проводилось, так как сначала нужно учесть ОДЗ неравенства:

Тогда на ОДЗ исходное неравенство равносильно следующему:

Решаем данное неравенство методом интервалов, учитывая ОДЗ.

Тогда решение неравенства имеет вид: .

Выписываем целые решения, входящие в эту область:

― всего 14 решений.

Ответ: 14

Задача В3. Точки A(1;2), B(5;6) и C(8;6) ― вершины трапеции ABCD (AD || BC). Найдите сумму координат точки D, если

Решение.

Обозначим точки A, B и С на координатной плоскости. Точки B и C лежат на прямой, параллельной оси абсцисс. Так как AD || BC, то и прямая AD должна быть параллельна оси абсцисс, а значит, ордината точкиD равна ординате точки. А Пусть абсцисса точки D равна x, то есть координаты точки D(x;2).

Для определения x используем тот факт, что

. На основании формулы для расстояния между двумя точками координатной плоскости: получаем:

Из двух полученных значений выбираем x = 9, так как точка D, очевидно, лежит правее точки A.

Таким образом, координаты точки D(9;2). Их сумма равна 11. Это число и нужно записать в ответ.

Ответ: 11

Задача В4. Найдите периметр правильного шестиугольника, меньшая диагональ которого равна

Решение.

Пусть ABCDEF ― рассматриваемый правильный шестиугольник со сторонами, равными a.

― меньшая диагональ этого шестиугольника. Рассмотрим треугольник ABC. У этого треугольника

(как стороны шестиугольника), а угол

(докажите самостоятельно).

Применим к этому треугольнику теорему косинусов:

Так как

, то получаем:

Тогда периметр шестиугольника

Ответ: 60

Задача В5. Найти произведение корней уравнения

Решение.

Преобразуем исходное уравнение:

Произведение корней:

Ответ: -3

Задача В6. Площадь прямоугольника ABCD равна 20. Точки M, N, P, Q – середины его сторон. Найдите площадь четырехугольника, заключенного между прямыми AN, BP, CQ, DM

Решение.

1. Так как MB || PD и MB = PD, как половины противолежащих сторон прямоугольника, то MBPD ― параллелограмм, а значит BP || MD. Аналогично доказывается, что NA || CQ. Значит, в четырехугольникеRSTU противолежащие стороны параллельны и этот четырехугольник является параллелограммом.

2. Для нахождения площади параллелограмма применим формулу:

, где h ― высота параллелограмма, опущенная на сторону RU.

Таким образом, задача сводится к нахождению h и RU.

3. Найдем высоту h. Заметим, что высота h параллелограмма RST является также и высотой параллелограмма MBPD, поэтому

Площадь параллелограмма MBPD найдем как разность площади прямоугольника ABCD и двух прямоугольных треугольников: AMD и CPB:

Так как

― это площадь прямоугольника ABCD, то

Тогда

4. Найдем RU.

Стороны угла ADM пересекаются параллельными прямыми AN и QC. Так как AQ = QD, то по теореме Фалеса UD = RU.

Аналогично BS = ST, а так как ST = RU (противолежащие стороны параллелограмма, то BS = RU.

В треугольнике BAS отрезок MR параллелен основанию BS и делит сторону AB пополам. Значит MR ― средняя линия треугольника BAS и

Отрезок

Отсюда

5. Вычисляем площадь четырехугольника RSTU:

Ответ: 4

Задача В7. Решите уравнение

и найдите сумму его корней.

Решение.

Преобразуем уравнение:

Здесь мы разложили на множители квадратные трехчлены в левой и правой частях уравнения (проверьте, что такое разложение действительно справедливо).

Обозначим ОДЗ:

Тогда

Введем замену:

Тогда

Получаем уравнение:

Тогда

Первое уравнение совокупности корней не имеет, так как его дискриминант отрицательный. Второе же уравнение имеет два корня. Сумма этих корней по теореме Виета равна 9.

ЗАМЕЧАНИЯ К ЗАДАЧЕ.

На первый взгляд кажется, что увидеть самостоятельно все необходимые преобразования и замены просто невозможно. На самом же деле все не так страшно. Первое, что бросается в глаза при решении уравнения, – это два квадратных трехчлена в правой и левой частях выражения. У любого школьника уже на подсознательном уровне должно быть заложено: видишь квадратный трехчлен – считай его дискриминант. Обычно, если корень из дискриминанта легко вычисляется, то решение задачи завязано на разложении квадратного трехчлена на множители, что и сделано первым же действием.

Второй шаг решения – это раскрытие скобок и замена. Это преобразование сходу увидеть сложно, если не знать о том, что оно существует, поэтому решайте больше примеров: опыт приходит с количеством.

Ответ: 9.

Задача В8. Найти значение выражения

, если

Решение.

Далее используем формулу:

Тогда

Так как

, то

. Тогда

Тогда

Значит,

Ответ: -6

Задача В9. Найти сумму целых значений x, принадлежащих области определения функции

Решение.

Запишем систему неравенств, задающих область определения указанной функции. Для этого используем свойства логарифма:

Решим последнее неравенство системы.

Изображаем решение неравенства на числовой прямой, используя метод интервалов. На эту же прямую наносим решения остальных неравенств системы.

Записываем область определения функции:

Выпишем целые решения, входящие в область определения:

-3, -2, -1, 0

Сумма этих решений равна -6.

Ответ: -6

Задача В10. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и

, вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения

, где V ― объем фигуры вращения.

Решение.

Пусть АВС – заданный прямоугольный треугольник, а АС – гипотенуза этого треугольника. Изобразим на чертеже тело, полученное при вращения данного треугольника вокруг оси, содержащей его гипотенузу.

Полученное тело можно разбить на два конуса, в основании которых лежит одна и та же окружность с центром в точке O. Радиус этой окружности OB совпадает с высотой прямоугольного треугольника.

Пусть h ― высота треугольника. Тогда площадь оснований конусов:

Запишем выражение для объема тела:

Таким образом задача свелась к нахождению гипотенузы АС и высоты h треугольника ABC.

Гипотенузу АС найдем с помощью теоремы Пифагора:

Для нахождения высоты h рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и BOC. У этих треугольников угол C общий, поэтому они подобны по двум углам (прямому и углу С).

Из подобия треугольников следует:

Таким образом

Тогда объем тела:

В ответ необходимо записать величину:

Ответ: 84

Задача В11. Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта массой 100 г и 900 г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих растворах стало одинаковым. Найдите, сколько раствора (в граммах) было отлито из каждого раствора.

Решение.

Массовая доля спирта в растворе – это отношения массы только спирта, который содержит раствор к массе всего раствора.

Пусть p ― массовая доля спирта в первом растворе, а q ― во втором. По условию, p = q.

Тогда количество спирта в первом растворе равно 100p, а во тором ― 900.

Пусть