HELPматематик: Подробные решения задач из варианта 1 части В. ЦТ по математике 2013 г.

Вариант 1

Часть В

Задача В1. Автомобиль проехал некоторое расстояние, израсходовав 21 л топлива. Расход топлива при этом составил 9 л на 100 км пробега. Затем автомобиль существенно увеличил скорость, в результате чего расход топлива вырос до 12 л на 100 км. Сколько литров топлива понадобится автомобилю, чтобы проехать такое же расстояние?

Решение.

Определим расстояние, проходимое автомобилем в первом скоростном

Тогда, расходуя 21 л топлива, автомобиль проходит расстояние:

После увеличения скорости за один километр пути автомобиль будет расходовать количество литров, равное:

Тогда на расстоянии в

автомобилем будет израсходовано

Ответ: 28.

Задача В2. Решите уравнение

. В ответ запишите сумму его корней (корень, если он один).

Решение.

Определим ОДЗ для корней уравнения. Для этого решим систему неравенств:

Преобразуем исходное уравнение с учетом ОДЗ:

С учетом ОДЗ корень

отбрасываем.

Ответ: 5

Задача В3. Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 10, а синус противолежащего угла равен 0.6. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Пусть

- заданный равнобедренный треугольник, у которого

Найдем

. Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

Так как угол

по условию острый, то

Запишем для треугольника

теорему косинусов:

Находим площадь треугольника:

Ответ: 75

Задача В4. Пусть

- целочисленное решение системы уравнений

Найдите сумму

Решение.

Преобразуем систему уравнений:

Решим первую систему полученной совокупности.

Первое уравнение системы заменим суммой первого и второго уравнения:

Решим вторую систему полученной совокупности.

Первое уравнение системы заменим суммой первого и второго уравнения:

то есть целочисленного решения данная система уравнений не имеет.

Таким образом, исходная система уравнений имеет единственное целочисленное решение:

В ответ записываем сумму

Ответ: .

Задача В5. Найдите наибольшее целое решение неравенства

Решение.

Имеем

Обе части неравенства разделим на

, что правомерно, так как

при любых x .

Тогда получим:

Так как

, то последнее неравенство равносильно неравенству

Тогда наибольшим целым решением неравенства является число 12.

Ответ: 12

Задача В6. Найдите количество корней уравнения

на промежутке

Решение.

Преобразуем исходное уравнение, используя формулу двойного аргумента:

Введем замену

Уравнение примет вид

Условию

удовлетворяет только корень

Получаем уравнение:

Для ответа на вопрос задачи это уравнение можно не решать, а воспользоваться единичной окружностью. При этом удобнее исследовать возможные значения не для x, а для 2x. Так как

, то

На рисунке отмечены два корня рассматриваемого уравнения, лежащих в интервале

. Как видно из рисунка, других корней на этом интервале рассматриваемое уравнение не имеет. Двигаясь по окружности от

до

, замечаем, что на этом интервале находится 4 корня рассматриваемого уравнения.

Ответ: 4

Задача В7. Геометрическая прогрессия со знаменателем 5 содержит 10 членов. Сумма всех членов прогрессии равна 24. Найдите сумму всех членов прогрессии с четными номерами.

Решение.

Пусть

- первый член геометрической прогрессии. Запишем выражение для суммы 10 членов прогрессии:

где q - знаменатель прогрессии.

Члены исходной прогрессии с четными номерами также образуют геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен

. Первый член этой новой прогрессии является вторым членом исходной прогрессии:

(штрихами обозначаем величины, относящиеся к новой прогрессии, состоящей из четных членов исходной). Новая прогрессия содержит 5 членов, сумма этих членов:

Ответ: 20.

Задача В8. Найдите сумму корней уравнения

Решение.

Так как

, то левая часть уравнения неотрицательная. Значит, уравнение может иметь решение только при тех значениях , при которых и правая часть уравнения неотрицательна. Таким образом, можно сразу определить ОДЗ для x:

Таким образом,

При указанных ограничениях на значения x некоторые модули в исходном уравнении можно сразу раскрыть:

Полученное уравнение равносильно совокупности:

Решаем последнее уравнение полученной совокупности:

Так как и левая и правая части этого уравнения положительны, то перейдем к равносильному уравнению, возведя в квадрат обе части исходного:

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня:

Сумма корней уравнения равна 13.

Заметим, что исходное уравнение можно решить, рассмотрев последовательно все интервалы, на которых подмодульные выражения в левой части уравнения имеют постоянный знак, то есть решить задачу "в лоб". Однако если заметить ограничение, накладываемое на самой постановкой задачи, то многие модули просто исчезают, что упрощает решение задачи.

Ответ: 13

Задача В9. Из города А в город В, расстояние между которыми 100 км, одновременно выезжают два автомобиля. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, но он делает в пути остановку на 50 мин. Найдите наибольшее значение скорости (в км/ч) первого автомобиля, при движении с которой он прибудет в В не позже второго.

Решение.

Пусть x км/ч - скорость первого автомобиля, тогда (x-10) км/ч - скорость второго. Время движения второго автомобиля из А в В составляет

. Первый автомобиль делает остановку на время

, поэтому время следования второго автомобиля из А в В составляет

Так как первый автомобиль должен прибыть в В не позже второго, то должно выполняться неравенство:

Решим полученное неравенство

Квадратный трехчлен

разложим на множители. Его корни на основании теоремы Виета равны -30 и 40. Тогда

. Получаем неравенство:

Полученное неравенство решаем методом интервалов.

Таким образом, .

Наибольшее значение равно 40.

Ответ: 40

Задача В10. Из точки А проведены к окружности радиуса

касательная АВ (В – точка касания) и секущая АС, проходящая через центр окружности и пересекающая ее в точках D и C. Найдите площадь S треугольника АВС, если длина секущей AC в 3 раза больше длины касательной. В ответ запишите 5S.