Подробные решения задач из варианта 1 части В. ЦТ по математике 2014 г.

Вариант 1

Часть В

Задача В1. Найдите сумму целых решений (решение, если оно единственное) системы неравенств

Решение.

Система из двух квадратных неравенств. По сути, ничего сложно для более или менее подготовленных абитуриентов. Каждое неравенство решается методом интервалов и находится пересечение решений.

Таким образом, решение системы неравенств имеет вид:

.

Выпишем целые решения, входящие в полученный интервал:

.

Их сумма равна 6.

Ответ: 6.

Задача В2. Найдите произведение большего корня на количество корней уравнения .

Решение.

Преобразуем исходное уравнение:

Введем замену переменной .

Тогда уравнение примет следующий вид:

ОДЗ: .

Тогда, умножив обе части уравнения на t, получим

.

Корни этого уравнения на основании обратной теоремы Виета равны:

.

Тогда на основании введенной выше замены получаем совокупность двух уравнений:

Первое уравнение совокупности не имеет решений, так как его дискриминант отрицателен.

Корни второго уравнения: .

В ответ записываем  (больший корень умножается на количество уравнений)

Ответ: 6.

Задача В3. В окружность радиусом 6 вписан треугольник, длины двух сторон которого равны 6 и 10. Найдите длину высоты треугольника, проведенной к его третьей стороне.

Решение.

Выполним вспомогательный чертеж для решения задачи. Пусть АВС – заданный треугольник, у которого .

Проведем высоту  треугольника.

В подобных задачах самый сложный момент – это понять, как связать параметры треугольника (углы или стороны) с параметрами окружности. Ведь задачу мы решаем про треугольник, однако, поскольку дан радиус описанной окружности, то это нужно как-то использовать для получения недостающих сведений о самом треугольнике.

Одна из самых известных связей между треугольником и описанной окружностью доказывается в теореме синусов. Запишем выводы этой теоремы для угла :

Здесь R - радиус описанной около треугольника окружности. Отсюда получаем:

Значит, .

Высоту ВК найдем из прямоугольного треугольника BKA:

.

Ответ: 5

Задача В4. Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства

.

Решение.

Найдем ОДЗ для x, удовлетворяющих данному неравенству.

Ограничения на x могут наложить логарифмические функции в силу их свойств. В нашем случае получаем:

.

Используя свойства логарифмов, преобразуем исходное неравенство:

Самым «тонким» моментом в приведенной цепочке преобразований является изменение знака неравенства на противоположный. Это происходит потому, что основания логарифмов меньше единицы.

Осталось решить записанное квадратное неравенство и наложить на него условие из ОДЗ:

Корнями квадратного уравнения  являются числа , поэтому квадратный трехчлен  раскладывается на множители: .

Получаем неравенство , которое решаем методом интервалов:

На рисунке указана, также, область, соответствующая ОДЗ.

Тогда

.

Наименьшим целым числом из данного интервала является 3, а наибольшим – 10. Их сумма равна 13.

Ответ: 13.

Задача В5. Найдите сумму (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения .

Решение.

Преобразуем уравнение, используя формулу двойного аргумента для синуса в левой части:

Далее вспоминаем магическую фразу: «Произведение может равняться нулю только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю».

Получаем совокупность двух уравнений:

Так как , то

Из условия задачи следует, что необходимо найти самые близкие к нулю корни уравнения. Так как n и k могут принимать любые целые значения, то, вообще, корней исходного уравнения существует бесконечное множество. Поэтому проще всего ответить на вопрос задачи можно следующим образом: перебрать все корни, близкие к нулю, и выбрать из них наибольший и наименьший.

Для этого составим таблицу:

n	-1	0		k	0	1	-1	-2

Очевидно, что при остальных n и k ближе к нулю мы уже не подойдем.

Итак, из приведенных значений наименьшим положительным является , а наибольшим отрицательным - .

Сумма полученных углов равна -15.

Ответ: -15.

Задача В6. Три числа составляют геометрическую прогрессию, в которой . Если второй член прогрессии уменьшить на 8, то полученные три числа в том же порядке опять составят геометрическую прогрессию. Если третий член новой прогрессии уменьшить на 25, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите сумму исходных чисел.

Решение.

Пусть  - первый член исходной геометрической прогрессии.

Тогда второй член прогрессии - , а третий - , где  - знаменатель прогрессии.

После уменьшения на 8 второго члена, исходный ряд чисел принимает вид:

По условию эти числа также составляют геометрическую прогрессию. Пусть  - знаменатель этой прогрессии. Тогда должно выполняться равенство:  (мы выразили третий член новой прогрессии через первый член  и знаменатель ).

Из записанного уравнения после сокращения на  и извлечения квадратного корня получаем:

.

Так как по условию , то .

Это значит, что либо , либо .

Очевидно, выполнение первого равенства невозможно, так как в этом случае для второго члена новой прогрессии можно было бы записать:

 - противоречие.

Значит .

Выразим второй член новой прогрессии через первый при данном условии:

После уменьшения третьего члена новой прогрессии на 25 получаем ряд:

.

Так как по условию этот ряд составляет арифметическую прогрессию, то

 (мы нашли разность прогрессии двумя способами и приравняли их).

Учитывая, что , получаем:

Составляем и решаем систему из двух уравнений:

Первое уравнение итоговой системы является квадратным. Его решаем через дискриминант:

Тогда

Так как по условию , то нам подходит лишь второй корень. Таким образом, .

Тогда из второго уравнения системы получаем первый член исходной прогрессии:

.

Записываем первые три члена прогрессии:

1, 4, 16.

Их сумма равна 21.

Ответ: 21.

Задача В7. Найдите произведение суммы корней уравнения  на их количество.

Решение.

Преобразуем исходное уравнение:

Введем замену . Получаем:

Корни последнего уравнения:

.

Тогда

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня. Находим произведение суммы этих корней на их количество:

.

Ответ: 16.

Задача В8. Найдите количество корней уравнения .

Решение.

Решить это уравнение аналитически невозможно, так как оно относится к классу трансцендентных уравнений. Однако для определения количества корней решение искать вовсе необязательно. Достаточно решить данное уравнение графически, то есть изобразить на координатной плоскости функции  и, найти точки их пересечения и подсчитать количество этих точек.

Функция  - -периодическая функция, кроме того, значения этой функции лежат в интервале . В точке  функция принимает значение . Этого, в принципе, достаточно для построения схематического графика этой функции.

Функция  распадается на две функции:

Каждая из полученных функций является линейной, проходящей через начало координат. Причем, при  значение функции .

Строим графики указанных функций в одной координатной плоскости:

Очевидно, что при  и при , точек пересечения у графиков функций точно не будет, так как при указанных значениях , значения функции  превышают 1.

Как видно из графика, заданные функции имеют 22 точки пересечения. Заметим, что задачу можно было решить, рассматривая лишь значения , так как функции, входящие в состав уравнения четные, а значит, их графики симметричны относительно оси ординат.

Ответ: 22

Задача В9. Найти сумму целых решений неравенства .

Решение.

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Вспомним, что дробь может поменять знак лишь в тех точках, в которых или числитель или знаменатель дроби обращается в ноль. Конечно, для данного неравенства не получится применить правило чередования знаков, как это делается с обычной рациональной дробью, поэтому на каждом из интервалов знак будем проверять отдельно.

Итак, нули знаменателя:

.

Для нахождения нулей числителя решим уравнение:

Решить данное уравнение проще всего можно, возведя в квадрат обе части уравнения. Это возведение не приведет к появлению посторонних решений, так как обе части уравнения положительны.

Имеем

Таким образом, нулями числителя являются .

Полученные четыре значения переменной x разбивают числовую прямую на промежутки. Обозначим их на рисунке.

Точки  и  выкалываются, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль. Точки -2 и 4 закрашиваются и включаются в множество решений неравенства, так как неравенство нестрогое.

Теперь на каждом из интервалов выбираем точку и определяем знак выражения   в этой точке.

На основании проведенных расчетов расставляем знаки неравенства:

Записываем решение неравенства: .

Выписываем целые решения неравенства: . Их сумма равна 7.

Ответ: 7

Задача В10. Куб вписан в правильную четырехугольную пирамиду так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пирамиды. А четыре другие вершины – на ее основании. Длина стороны основания пирамиды равна 2, высота пирамиды – 6. Найдите площадь S поверхности куба. В ответ запишите значение 4S.

Решение.

Пусть SABCD - правильная четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD. SK = 6 - высота пирамиды.

Так как 4 вершины нижней грани куба находятся на основании пирамиды, то вся грань лежит в плоскости основания. Верхняя грань куба A'B'C'D', таким образом, параллельна плоскости основания. Поэтому отсекаемая от пирамиды SABCD пирамида SA'B'C'D' подобна исходной.

Запишем соотношение подобия для этих пирамид:

Но , так как  - расстояние между гранями куба, которое равно длине ребра.

Обозначив длину ребра куба через x, получаем:

Тогда площадь грани куба: , а площадь поверхности: .

В ответ записываем .

Ответ: 54.

Задача В11. Найдите значение выражения .

Решение.

Сначала разберемся с тангенсом. Угол  (172 градуса, 30 минут) равен , так как в одном градусе 60 минут.

Тогда

.

Рассчитаем . Это можно сделать различными способами, однако, в каждом из них нам понадобятся формулы двойного угла:

.

Тогда

.

Знак «+» перед скобками выбран потому, что угол  лежит в первой четверти.

Для нахождения  можно воспользоваться формулой косинуса разности:

.

Тогда

.

Числитель и знаменатель подкоренного выражения умножим на  и воспользуемся разностью квадратов в знаменателе:

Модуль в числителе раскрыт со знаком «+», так как подмодульное выражение положительно.

Далее выделим полный квадрат под корнем в знаменателе:

При раскрытии модуля в числителе нужно поменять знак, так как подмодульное выражение отрицательно.

Числитель и знаменатель полученного выражения умножаем на , чтобы в знаменателе воспользоваться разностью квадратов и избавиться от иррациональности:

Вычисляем значение исходного выражения:

Ответ: -9.

Задача В12. Трое рабочих (не все одинаковой квалификации) выполняли некоторую работу, работая поочередно. Сначала первый из них проработал  часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. Затем второй проработал  часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. И, наконец, третий проработал  часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. Во сколько раз быстрее работа была бы выполнена, если бы трое рабочих работали одновременно? В ответ запишите найденное число, умноженное на 4.

Решение.

Пусть x - производительность труда первого и второго рабочего, а y - производительность труда третьего рабочего (по условию не все рабочие одинаковой квалификации, то есть двое имеют одну квалификацию и, соответственно, одинаковые производительности труда, а третий другую квалификацию).

Второй и третий рабочие, работая вместе, выполнят всю работу за время .

Первый и третий рабочие, работая вместе, выполнят всю работу за время .

Первый и второй рабочие, работая вместе, выполнят всю работу за время .

По условию задачи первый рабочий работает в течение времени , второй - , третий - . За эти промежутки времени рабочие выполняют части работ, равные соответственно . Так как в целом они выполняют всю работу полностью, то

Заметим, что это единственное уравнение, которое можно составить на основании условия задачи. Оно содержит две переменные, поэтому имеет бесконечное множество решений.

Теперь нужно определиться с тем, что нужно найти.

Время выполнения работы при описанном в условии задачи способе равняется сумме времен, затраченных каждым рабочим в отдельности:

.

Если бы рабочие выполняли работу вместе, то затраченное время было бы равно

.

Найти нужно отношение времен

.

Заметим, что для нахождения полученного соотношения необязательно знать значения  и  в отдельности, а достаточно знать их отношение:

.

Именно это отношение и нужно попытаться вытянуть из единственного полученного выше уравнения:

Получили квадратно уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Так как отношение производительностей труда не может быть отрицательным, то остается лишь один корень:

Тогда отношение времен:

В ответ записываем полученное значение, умноженное на 4, то есть 5.

Ответ: 5.