Страницы

Подробные решения задач из варианта 1 части В. ЦТ по математике 2015 г.

Вариант 1
Часть В
Задача В1. Витя купил в магазине некоторое количество тетрадей, заплатив за них 24 тысячи рублей. Затем он обнаружил, что в другом магазине тетрадь стоит на 1 тысячу рублей меньше, поэтому, заплатив такую же сумму, он мог бы купить на 2 тетради больше. Сколько тетрадей купил Витя?
Решение.
Пусть x – количество тетрадей, купленных Витей.
Тогда цена одной тетради:  тыс. руб.

Значит, в другом магазине цена одной тетради: , так как тетради здесь дешевле на 1 тысячу рублей.
Так как в другом магазине Витя купил на 2 тетради больше за те же деньги, то
, то есть мы умножили новую цену на новое количество тетрадей и получили ту же самую сумму в 24 тысячи.
Решаем полученное уравнение:
Отрицательный корень не подходит, так как количество тетрадей должно быть положительным.
Таким образом, Витя купил 6 тетрадей.
Ответ: 6.
Задача В2. Найти наибольшее целое решение неравенства .
Решение.
Преобразуем неравенство таким образом, чтобы привести левую часть к одному основанию:
Так как основание под степенью меньше 1, то последнее неравенство эквивалентно следующему:
Наибольшее целое число из этого множества ― это -15.
Ответ: -15.

Задача В3. Найдите модуль разности наибольшего и наименьшего корней уравнения .
Решение.
Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу разности квадратов:
Корни полученного уравнения: -3, -1, 1, 4.
Наибольший корень 4, а наименьший -3. Их разность равна 4 ― (-3) = 7.
Ответ: 7
Примечание: разложение квадратных трехчленов на множители подробно не расписывалось, так как предполагается, что решающим часть В это по силам. Если остались вопросы, то пишите комментарии в конце статьи – с удовольствием ответим на них.

Задача В4. Пусть  ― решения системы уравнений 
Найдите значение выражения .
Решение.
Будем решать данную систему уравнений методом подстановки:
 
Из уравнения  следует, что .
При  получаем
При  получаем
Тогда значение искомого выражения:
.
Ответ: -24.

Задача В5. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения
Решение.
Сначала определим ОДЗ для x. Для этого составим систему неравенств, руководствуясь тем, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
Первое неравенство системы решаем методом интервалов:
На рисунке изображены множества решений каждого из трех неравенств системы. Изобразим пересечение этих промежутков:
Таким образом, 
Теперь приступаем к преобразованию исходного уравнения. Так как ОДЗ найдена, то можно смело проводить любые алгебраические преобразования с уравнением, не боясь появления посторонних корней (главное не забыть проверить полученные корни на принадлежность ОДЗ).
Казалось бы, одинаковые слагаемые в правой и левой части можно было убрать сразу, однако, это нельзя делать, так как наличие корня  влияет на ОДЗ уравнения.
Далее
Второй корень не удовлетворяет ОДЗ, поэтому исходное уравнение имеет единственный корень -6.
Ответ: -6.

Задача В6. Найдите сумму целых решений неравенства .
Решение.
Данное неравенство удобно решать, используя метод интервалов. Для этого преобразуем исходное неравенство:
Заметьте, что, умножая на -1 левую и правую части неравенства, мы поменяли знак неравенства.
Далее разложим квадратный трехчлен в числителе на множители:
,
а в знаменателе применим формулу разности квадратов:
.
Тогда неравенство принимает вид
Все это были обычные шаги, необходимые для преобразования неравенства к виду, пригодному для применения метода интервалов.
Теперь внимание! Не спешите сокращать  в числителе и знаменателе. Так вы упустите из виду, что x не может быть равен -2. Перед сокращением необходимо пометить, что .
Итак, рассматриваем неравенство
Расставляем нули числителя и знаменателя на числовой прямой, а также знаки неравенства, используя чередование знаков: начинаем со знака «+», а проходя через точку , знак не меняем.
Теперь наносим на полученную область решений выколотую точку  (на чередование знаков эта точка не влияет)
По полученной схеме записываем решение неравенства
.
Обратите внимание, что число 4 само по себе является решением неравенства, поэтому включается в множество решений.
Из записанного множества выписываем все целые решения: .
Их сумма равна -8.
​Ответ: -8.

Задача В7. Каждое боковое ребро четырехугольной пирамиды образует с ее высотой, равной , угол . Основанием пирамиды является прямоугольник с углом  между диагоналями. Найдите объем пирамиды V, в ответ запишите значение выражения .
 Решение.
Пусть SABCD – данная пирамида, а SO – ее высота.
Рассмотрим треугольники SAO, SBO, SCO и SDO. Эти треугольники прямоугольные, так как SO – высота пирамиды, а значит, перпендикулярна любой прямой в плоскости (ABC). Катет SO – общий для всех четырех треугольников, а углы при вершине S у этих треугольников одинаковы по условию. Это значит, что указанные треугольники равны, а значит OA=OB=OC=OD. Таким образом, точка О равноудалена от вершин прямоугольника ABCD, то есть является точкой пересечения диагоналей прямоугольника.
Для нахождения объема пирамиды применим формулу:
, где  ― площадь основания, а H=SO – высота пирамиды.
По условию задачи .
Площадь основания можно найти по формуле площади четырех угольника:
, где  ― диагонали прямоугольника, а  ― угол между диагоналями.
Найдем половину диагонали прямоугольника. Для этого рассмотрим, например, треугольник SOA, для которого .
Тогда
Значит диагонали прямоугольника
.
Тогда
.
Вычисляем объем пирамиды:
.
В ответ записываем число 
 Ответ: 147. 

Задача В8. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения .
Решение.
Проще всего решить данную задачу можно, используя основное тригонометрическое тождество:
Очевидно, что при  соответствующий корень  ― положительный, а уже при  получим .
Это и есть наибольший из отрицательный корней.
 Ответ: -6

Задача В9. Найдите количество корней уравнения .
 Решение.
Решить это уравнение аналитически невозможно, так как оно относится к классу трансцендентных уравнений. Однако для определения количества корней решение искать вовсе необязательно. Достаточно решить данное уравнение графически, то есть изобразить на координатной плоскости функции  и, найти точки их пересечения и подсчитать количество этих точек.
Функция  ― -периодическая функция, кроме того, значения этой функции лежат в интервале . В точке  функция принимает значение . Этого, в принципе, достаточно для построения схематического графика этой функции.
Функция  на координатной плоскости определяет прямую, проходящую через начало координат с отрицательным наклоном к оси абсцисс.:
Строим графики указанных функций в одной координатной плоскости:
Очевидно, что при  и при , точек пересечения у графиков функций точно не будет, так как при указанных значениях , значения функции  по модулю превышают 1.
 Как видно из графика, заданные функции имеют 33 точки пересечения. Заметим, что задачу можно было решить, рассматривая лишь значения , так как функции, входящие в состав уравнения нечетные, а значит, их графики симметричны относительно начала ординат.
 Ответ: 33.

Задача В10. В прямоугольнике ABCD выбраны точки L на стороне BC и M на стороне AD так, что ALCМ – ромб. Найдите площадь этого ромба, если АВ=3, ВС=9.
 Решение.
Изобразим на чертеже описанный прямоугольник и обозначим на его сторонах точки L и M.
 
Пусть LC=x – сторона ромба, тогда AL=x, так как у ромба все стороны равны.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABL. У этого треугольника АВ=3, BL=9-x, AL=x.
Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:
Таким образом, сторона ромба равна 5.
Высота ромба CD=BA=3/
Тогда площадь ромба:
 Ответ: 15.

Задача В11. Пусть .
Найдите значения выражения .
 Решение.
Преобразуем выражение, задающее А.
Сначала заметим, что , а это значит, что .
Тогда
Здесь мы использовали формулу квадрата разности, а сначала сделали из двойки удвоенное произведение логарифмов, пользуясь замеченным выше свойством.
Далее
При раскрытии модуля в последнем выражении мы учли, что , а , поэтому разность под модулем положительная и знак модуля можно просто опустить.
Таким образом,
В последнем преобразовании мы внесли в скобки слева и учли замеченное в самом начале свойство.
Далее, в первой скобке представим единицу как  и воспользуемся формулой разности логарифмов:
В последнем выражении учтем, что
Тогда
Вычисляем искомое выражение:
.
 Ответ: 225.

Задача В12. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 4 и на 6 дают в остатке 1, при делении на 9 дают в остатке 4.
 Решение.
Для того, чтобы решить задачу, нужно сначала найти какую-либо закономерность, которой подчиняются описанные в условии задачи числа, так как перебирать все трехзначные числа с указанными свойствами – не очень рациональная идея.
Для нахождения указанной закономерности заметим, что, например, числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1 повторяются через 4, то есть образуют арифметическую прогрессию с разностью 4.
Действительно, число 5 при делении на 4 дает в остатке 1. Следующее такое число – 9, затем – 13, 17 и т.д.
Аналогично, числа которые при делении на 6 дают в остатке 1 повторяются через 6, например 13, 19, 25 и т.д.
А числа, которые при делении на 9 дают в остатке 4 повторяются через 9: 13, 22, 31 и т.д.
Теперь представим, что есть такое число, которое одновременно удовлетворяет всем трем свойствам, описанным в условии задачи, то есть при делении на 4 и на 6 дает в остатке 1, а при делении 9 дает в остатке 4. Одно из таких чисел, 13, очень просто находится методом подбора.
Если мы увеличим 13 на 4, то получим число 17. Это число будет при делении на 4 давать в остатке 1, однако остальные требования соблюдены не будут. Очевидно, что если мы увеличим число 13 на 36, то есть возьмем число 49, то это число будет обладать всеми свойствами, указанными в условии.
Число 36 одновременно делится на 4, на 6 и на 9, причем является наименьшим общим кратным этих чисел. Это значит, что все искомые числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 36. Если за первый член такой прогрессии взять 13, то общий член можно записать в виде:
Так как число должно быть трехзначным, то
Так как n ― целое число, то n изменяется от 4 до 28. При данных n все члены найденной прогрессии – трехзначные числа. Всего этих чисел 25 (от 4 до 28 включительно).
Найдем сумму членов арифметической прогрессии с 4го по 28й:
.
 Ответ: 13825.

Статьи по теме:

Стоимость заданий на ЦТ 2015 по математике.

Комментариев нет:

Отправить комментарий